Функции нескольких переменных. Частные производные.
Частная производная. Дифференцируемость Функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию нескольких переменных f( x₁ , x₂ , …, x_n ), которая определена в некоторой окрестности точки x₍₀₎.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Частная производная по переменной x_k функции f в точке x₍₀₎ есть обычная производная функции одной переменной y(x_k) в точке x_{(0) k}, причем функция y получается из функции f, если в ней все переменные кроме x_k зафиксированы и равны x₍₀₎₁, …, x_(0)n. Частная производная обозначается .

Будем называть приращением функции f величину .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f( x₁ , … , x_n ) называется дифференцируемой, если существуют такие числа A₁ , … , A_n, что

Для того, чтобы функция была дифференцируема необходимо и достаточно, чтобы существовали такие функции e_k( Dx₁ , … , Dx_n), стремящиеся к нулю при стремлении к нулю абсолютной величины приращения переменной x, что

Т. Если функция дифференцируема в точке x₍₀₎, тогда в этой точке существуют частные производные функции f по всем переменным x_k. При этом, если приращение функции представлено в виде