Функции нескольких переменных. Частные производные.
Дифференцирование сложной функции. Дифференциал. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциалом функции нескольких переменных f называется линейная часть приращения этой функции, обозначаемая df. Если функция f дифференцируема, тогда дифференциал функции для всех векторов dx выражается через частные производные и приращения переменных:

Для функции нескольких переменных действует более сложное правило дифференцирования сложной функции, чем в случае функции одной переменной:

Пусть у нас задана функция f(x₁, …, x_n ), а переменные x_k также являются функциями нескольких переменных x_k = x_k ( t₁, …, t_m ), тогда функцию f можно считать функцией вектора t и дифференцировать по переменным t_k :

Рассмотрим n+1 мерное пространство. В этом пространстве график функции n переменных есть геометрическое место точек, имеющих координаты
( x₁, …, x_n , y = f(x) ). Возьмем точку x₍₀₎ = ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂,… , x_{(0) n}), которой соответствует точка на графике функции:
( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂, … , x_{(0) n}, f ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂, … , x_{(0) n}) ).

В рассматриваемом пространстве, геометрически, частная производная функции f по x_k равна тангенсу угла между прямой, касательной к сечению графика функции f плоскостью, проходящей через точки:
( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂,… , x_{(0) n}), ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂ , … , x_{(0) k} + 1, …, x_{(0) n})
и ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂, … , x_{(0) n}, f ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂, … , x_{(0) n}) ) ,
и прямой, проходящей через точки ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂,… , x_{(0) n}), ( x₍₀₎₁, x₍₀₎₂ , … , x_{(0) k} + 1, …, x_{(0) n}).