Частные производные и Дифференциалы высших порядков. Ряд Тейлора для функций многих переменных.
Ряд Тейлора для функций нескольких переменных.

Рассмотрим функцию f(x,y), у которой существуют все частные производные в точке (x^*, y^*) до порядка k включительно. Возьмем приращение (rDx, rDy) ( вектор (Dx,Dy) будем считать вектором единичной длины, задающим направление)
и вычислим значение функции f в точке : ( x^* + rDx, y^* + rDy).

Вектор (Dx,Dy) задает некоторое направление, производную по которому можно вычислить как :

Теперь мы можем вновь продифференцировать функцию по этому же направлению, т.е. можем применить эту же формулу к каждой из частных производных :

А зная производные по направлению, мы можем применить формулу Тейлора для функции одной переменной:

Другими словами :

Т. Если в некоторой круговой окрестности точки (x^*, y^*) функция f(x, y) непрерывна вместе со всеми своими частными производными до порядка k включительно, тогда в этой окрестности справедлива формула: