Минимумы и максимумы функций нескольких переменных. Седловые точки. Условные экстремумы функций нескольких переменных.
Экстремумы функций многих переменных. Необходимые условия экстремума.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x₍₀₎ является точкой локального максимума функции f(x₁, …, x_n), если существует такая окрестность точки x₍₀₎, что для всех точек x в этой окрестности, в которых определена функция f выполняется неравенство: f(x) Ј f(x₍₀₎).
Если же в этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₍₀₎) , тогда точку x₍₀₎ называют точкой строгого локального максимума.

Так например, функция x² + 2 y² имеет строгий минимум в начале координат, а функция ( x+ 2 y ) ² имеет обычный минимум в начале координат, но не имеет строгого минимума.

Т. (Необходимое условие экстремума) Если функция f определена в окрестности точки x₍₀₎ и существует частная производная , то эта производная равна нулю.

Будем для определенности считать, что k равно 1. Если точка x₍₀₎ является точкой экстремума функции f, то она является и точкой экстремума функции одной переменной: f(x₁, x₂₍₀₎, …, x_n(0)). При этом точка x₍₀₎ является внутренней точкой области определения функции f(x₁, x₂₍₀₎, …, x_n(0)) , поскольку она является внутренней точкой области определения f. А поскольку производная функции f(x₁, x₂₍₀₎, …, x_n(0)) в точке x₁ = x₁₍₀₎ равна нулю согласно теореме Ферма, то и частная производная будет равна нулю.

Как следствие у дифференцируемой функции в точке экстремума дифференциал равен нулю и производные по всем направлениям также равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка, в которой все частные производные функции f определены и равны нулю, называется стационарной точкой функции f.

Всякая точка экстремума, являющаяся внутренней для области определения функции f, является стационарной, но разумеется, не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Для нахождения стационарных точек функции f(x₁, …, x_n) нужно выразить вычислить все частные производные через переменные x₁, …, x_n и решить систему из n уравнений, в которых полученные нами формулы для частных производных приравниваются к нулю :