Предел функции.
Непрерывность функции. Односторонние пределы. Классификация разрывов функций.

Будем рассматривать f(x) заданную на подмножестве действительных чисел X. Возьмем некоторую точку x₀, принадлежащую множеству Х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует предел и этот предел равен значению функции в точке x₀, т.е. f(x₀), тогда функция f(x) называется непрерывной в точке x₀.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) непрерывна в каждой точке множества Х, то она называется непрерывной на всем множестве Х. Или просто непрерывной.

Свойства непрерывных функций.

Если две функции f(x) и g(x) непрерывны, тогда непрерывными будут функции :

1. a f(x) + b g(x) .
2. f(x) · g(x) .
3. А также, там где функция g(x) не равна нулю, и функция f(x) : g(x).
4. Суперпозиция двух функций f(g(x)) .

Мы можем сузить функцию f(x) на некоторое подмножество множества Х (обозначим его Y) и вычислить предел функции f(x) по этому подмножеству в точке x₀ . Для этого необходимо, чтобы в множестве Y нашлись последовательности элементов, сходящиеся к точке x₀ .

Понятно, что если существует , тогда, если предел по подмножеству существует, то он также равен a. Обратное не верно, например в точке разрыва функции у нее нет предела, но при этом могут существовать пределы справа и слева.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пределом функции f(x) слева при x ® x₀ называется предел этой функции для подмножества тех элементов множества Х, для которых x < x₀. Аналогично, пределом функции f(x) справа при x ® x₀ называется предел этой функции для подмножества тех элементов множества Х, для которых x > x₀.

Пределы слева и справа обозначаются соответственно.

Если у функции в некоторой точке существуют пределы слева и справа, то существует и обычный предел функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке x₀ если у этой функции существует в точке x₀ предел слева(справа) и он равен значению функции в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x) если функция или не определена в этой точке, или функция в ней определена, но не является непрерывной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если в точке x₀ существуют конечные пределы справа и слева функции f(x), но эти пределы не равны между собой или не равны значению функции в рассматриваемой точке, то говорят, что в точке x₀ у функции имеется разрыв первого рода. А разность между пределом справа и пределом слева называется скачком функции f(x) в этой точке.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если пределы функции f(x) справа и слева равны, но не совпадают со значением функции, или функция не определена, тогда разрыв в точке x₀ именуется устранимым. (Устранимые разрывы относятся к разрывам первого рода.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разрывами второго рода называют все прочие разрывы функций. Т.е. разрыв второго рода имеет место, если хотя бы один из пределов справа или слева является бесконечным; либо не существует, не смотря на существование функции справа и слева от точки x₀.

Например, у функции f(x) = ^|x|/_x в точке х = 0 имеется разрыв первого рода, причем скачок функции будет равен 2. А у функции f(x) = ¹/_x в этой же точке имеется разрыв второго рода.