Правила дифференцирования и первая производная.
Определение производной. Дифференциал. Геометрический Смысл Производной.
Пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки x0, т.е. x0 является внутренней точкой множества, на которой определена функция f(x).
ОПРЕДЛЕНИЕ. Если существует предел :
То этот предел называется производной функции f(x) в точке x0.
Производная в точке x обозначается f´(x). Если этот предел равен бесконечности (со знаком или без), то говорят о бесконечной производной.
Производной в концах отрезка [ a, b ] называют соотвествующий предел справа и слева.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования, а функция, имеющая конечную производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция имеющая конечную производную во всех точках области определения именуется дифференцируемой.
Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней. Обратное не верно, например |x| непрерывен на всей числовой оси, но при этом недифференцируем в нуле.
Пусть dx = x – x0 малое приращение переменной x.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейная функция df(x0) = С dx называется дифференциалом функции f(x), если в окрестности точки x0:
Где o(dx) – бесконечно малая величина по сравнению с dx.
Другими словами, дифференциал – линейная часть приращения функции, т.е. если вычесть из функции ее дифференциал, то разность вблизи точки x0 будет касаться оси x, а не пересекать ее.
Из определений производной и дифференциала следует, что df(x0) = f´(x0) dx.
Геометрически производная есть тангенс наклона касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке x. Чтобы продемонстрировать это, нужно геометрически изобразить предел, которому равна производная:
И теперь достаточно понять, что предел наклона отрезка А0А будет совпадать с наклоном касательной, поскольку сам отрезок А0А по мере сближения А0 и А будет все более напоминать касательную.
Физически, если f(t) есть зависимость координаты тела от времени, то f´(t0) – скорость тела в момент t0 .
|
