Правила дифференцирования и первая производная.
Дифференциальные теоремы о среднем. ( Теорема Ролля ; Теорема Лагранжа ; Теорема Коши о средних значениях. )

Функция f принимает в точке x₀ наибольшее значение на множестве Х, если для всех x из множества Х выполняется неравенство f(x₀) і f(x). Аналогично определяется точка, в которой функция принимает наименьшее значение.

Т. Ферма. Если f определена в некоторой окрестности x₀ и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение, и ее производная в x₀ конечна или равна бесконечности определенного знака, тогда fў(x₀) = 0.

Будем считать, что в точке x₀ функция f принимает наибольшее значение.Из выполнения неравенства f(x₀) і f(x) в окрестностях точки следует : Поскольку производная в точке x₀ существует, то в этих неравенствах можно перейти к пределу. А при переходе к пределу, по определению производной, в левой части неравенств появится fў(x₀), следовательно неравенства превратятся в : fў(x₀) і 0 и fў(x₀) Ј 0 Одновременно эти неравенства могут выполнятся лишь при равенстве производной нулю.

Замечание. Другими словами можно сказать, что эта теорема утверждает, что в точке, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение, ее производная может либо быть равна нулю, либо ее не существует (она равна ±Ґ или имеет разрыв в точке x₀, и задающий производную предел не вычисляется).

Замечание. Данная теорема справедлива только для внутренней точки множества X.

Теорема Ролля. Если функция f : 1) непрерывна на отрезке [ a, b ] ; 2) Имеет в каждой точке интервала ( a, b ) конечную или определенного знака бесконечную производную; 3) имеет одинаковые значения в концах отрезка, тогда существует хотя бы одна точка x₀ О ( a, b ) , в которой производная функции равна 0.

Если рассматриваемая функция имеет одинаковые значения в концах отрезка, то она либо является константой (что автоматически означает выполнение теоремы); либо существует (в силу ее непрерывности) точка, в которой она принимает наибольшее или наименьшее значение. А по теореме Ферма, если выполняется условие 2), то производная в этой точке равна 0.

Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы найдется хотя бы одна точка, в которой график функции параллелен оси x.

Теорема Лагранжа. (Формула конечных приращений Лагранжа) Если функция f : 1) непрерывна на отрезке [ a, b ] ; 2) Имеет в каждой точке интервала ( a, b ) конечную или определенного знака бесконечную производную, тогда существует точка x₀ О ( a, b ) , для которой верно равенство :

Справедливость теоремы Лагранжа следует из того факта, что функция : Удовлетворяет теореме Ролля, а значит в некоторой точке ее производная равна 0.

Геометрически Теорема Лагранжа утверждает, что у кривой найдется касательная, параллельная хорде, стягивающей эту кривую.

Теорема Коши о средних значениях. Если функции f и g : 1) непрерывны на отрезке [ a, b ] ; 2) Дифференцируемы на интервале ( a, b ) ; 3) производная g нигде не обращается в нуль, тогда существует точка x₀, в которой :

Для доказательства этой теоремы необходимо ввести функцию : Эта функция имеет в концах отрезка одинаковые значения и удовлетворяет условиям Т. Ролля. А значит найдется точка x₀ , в которой ее производная равна нулю :