Производные высших порядков и анализ функции.
Вторая производная. Вычисление производных высших порядков.

Если дифференцируемая функция f имеет дифференцируемую производную, тогда производная от производной функции f именуется второй производной функции f и обозначается fўў, т.е. fўў=(fў)ў.

Аналогично определяются и производные более высоких порядков, считается, что f⁽ⁿ⁾ есть производная от производной порядка n–1.

Некоторые свойства производных высших порядков.

1. ( x^k )^{( n )} = 0 при k < n.
2. ( a f + b g)⁽ⁿ⁾ = a f⁽ⁿ⁾ + b g⁽ⁿ⁾
3. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциалом второго порядка называется дифференциал, взятый от дифференциала f, считая, что dx в формуле дифференциала функции является константой. Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал, взятый от дифференциала n–1-го порядка, считая, что dx в формуле дифференциала является константой. Дифференциал n-го порядка обозначается dⁿf.

Способы вычисления производных высших порядков.

1. Поскольку производная n-го порядка есть производная от n–1-ой производной, то, в первую очередь, для вычисления производной n-го порядка можно применить n-кратное дифференцирование исходной функции. (Это основной способ вычисления старших производных.)
2. Можно использовать вышеперечисленные свойства производных высших порядков, однако для применения этих свойств нужно вычислить производные n-го порядка (и младше) для слагаемых и сомножителей, присутствующих в функции, которую нужно продифференцировать.
3. Способ прямого дифференцирования очень хорош, когда нужно рассчитать вторую или третью производную, но что делать когда нужно рассчитывать, скажем, производную 13-го порядка? Здесь может помочь метод индукции : по первым нескольким производным определяется примерная зависимость вида производной ее порядкового номера, а затем эта зависимость доказывается путем дифференцирования n-ой производной. Если полученный вид n+1-ой производной совпадет с прогнозом, значит дифференцирование выполнено правильно.