Производные высших порядков и анализ функции.
Экстремумы и Точки Перегиба.

В этом и двух последующих параграфах будет рассматриваться применение производных первого и более высоких порядков при анализе функции. В частности, в этом параграфе мы будем рассматривать задачу нахождения максимального значения функции, а также точек перегиба графика функции.

Будем рассматривать непрерывную дифференцируемую функцию f, заданную на отрезке [ a, b ]. Максимальное (как и минимальное) значение функция f может принимать в конечных точках отрезка или в некоторой внутренней точке x*.

Если функция принимает максимальное (минимальное) значение в точке x*, тогда по Т. Ферма (см. параграф 3.3) в этой точке производная должна быть равна нулю. И хотя не во всех точках, где производная равна нулю, функция имеет локальный (т.е., по крайней мере, в окрестностях точки x*) максимум или минимум, но каждая такая точка является подозрительной на экстремум.

Для того, чтобы определить является ли точка x*, в которой производная обращается в нуль, точкой локального максимума или минимума, достаточно выяснить меняет ли производная знак в этой точке. Если производная меняет знак с “+” на “–”, тогда точка x*, является точкой максимума, если наоборот, с “–” на “+”, тогда это точка минимума.

Точка перегиба – внутренняя точка отрезка, в которой изменяется направление выпуклости графика функции, т.е. выпуклость вверх сменяется выпуклостью вниз (вогнутостью) и наоборот. Другим важным свойством этой точки является то, что в ней график функции пересекает касательную, проведенную к нему в данной точке перегиба.

В точке перегиба наклон графика функции достигает максимального или минимального значения. (В этом Вы легко можете убедиться, нарисовав график функции, имеющей перегиб) Поэтому точка перегиба является точкой минимума или максимума производной функции f. А так как эта точка является максимумом или минимумом, то необходимым условием существования перегиба графика функции должно быть равенство нулю производной от производной f, т.е. равенство нулю fўў.

Достаточным же условием существования перегиба будет смена знака второй производной в точке x*.