Производные высших порядков и анализ функции.
Производные высших порядков в Экстремумах.

Рассмотрим ситуацию, когда и первая, и вторая производные f в точке x* равны нулю. В этом случае, чтобы существовал максимум или минимум необходимо, чтобы первая производная поменяла в этой точке свой знак, но это возможно, если с обеих сторон от точки x* вторая производная будет иметь одинаковый знак, т.е. чтобы в точке x* был экстремум необходимо, при равенстве в этой точке второй производной нулю, и равенство нулю третьей, а четвертая производная должна быть отличена от нуля.

И следовательно, если в этой точке четвертая производная будет равна 0, тогда вышеописанное правило обнаружения экстремума с использованием третьей и четвертой производной можно применить ко второй производной. Другими словами, пятая производная должна быть равна нулю, а шестая – не равна.

Следовательно : Если все производные функции f в точке x* до номера k включительно равны нулю, тогда, если номер k четный, то в точке не будет ни минимума, ни максимума функции f (т.е. это точка перегиба); а если k нечетно, тогда, если f^(k) > 0, то в точке x* наблюдается минимум функции f; а если f^(k) > 0, тогда в точке x* наблюдается минимум функции f.

В отношении точек перегиба действует подобное же правило, вытекающее из того факта, что точка перегиба является точкой максимума (минимума) первой производной:

Если все производные функции f в точке x*, начиная со второй, и до номера k включительно равны нулю, тогда, если номер k четный, то в этой точке будет наблюдаться перегиб графика функции f.