Пределы и Производная. Правило Лопиталя.
Раскрытие пределов по правилу Лопиталя.

Эта глава посвящена еще одному способу раскрытия неопределенностей в пределах; а именно так называемому правилу Лопиталя. Это правило утверждает, что можно перейти от предела отношения функций к пределу отношения производных. Для начала покажем, как это Правило действует в отношении неопределенности вида “0/0”.

Т. Если функции f и g определены в окрестности точки x₀ и равны в этой точке нулю, и в точке x₀ существуют конечные производные этих функций, причем производная функции g не равна 0 в точке x₀, тогда :

Эту теорему можно обобщить и на случай, если функции не определены в точке, в которой вычисляется предел. Ведь по сути дела, предельному переходу не важно, каково значение функций в той точке, где берется предел, предельный переход это значение игнорирует.

Т. Если функции f и g дифференцируемы на интервале (a, b) и производная функции g нигде не обращается на этом интервале в нуль; если и при этом существует предел отношения производных при x, стремящемся к a, тогда существует и предел отношения функций :