Первообразные рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.
Интегрирование Дробей. (Интегрирование Рациональных Функций.)

Напоминаем, что рациональной функцией именуется отношение двух многочленов :

Основной идеей при интегрировании рациональных функций является представление дроби в виде суммы более простых слагаемых, ингтеграл каждого из которых имеет табличный вид. Для этого используется сокращение дроби и разложение ее на слагаемые, причем операция разложения на слагаемые является обратной к операции приведения к общему знаменателю. Приведение к общему знаменателю.

Здесь мы распишем процедуру решения рационального интеграла:

Этап 1. Сокращение дроби.

Если степень многочлена в числителе превышает или равна степени многочлена в знаменателе, т.е. n і m, то выполняют частичное сокращение дроби. Для этого числитель делят на знаменатель и представляют дробь в виде:

Здесь P^*(x) – частное от деления многочленов; а P^**(x) – остаток от этого деления. Подробнее о делении многочленов смотрите в учебнике алгебры. Деление многочленов.

Интеграл от многочлена P^*(x) есть сумма табличных интегралов и поэтому легко вычисляется.

Этап 2. Разложение на множители и сокращение.

Теперь нам нужно разложить числитель и знаменатель дроби на множители. Для этого решаем уравнения P^**(x) = 0 и Q(x) = 0 .

Этап 3. Формирование списка элементарных дробей.

Нам больше не потребуются корни числителя, и мы представим его вновь в виде многочлена, но этот многочлен уже иной, так как проведено сокращение дроби. Сначала предположим, что знаменатель имеет m различных корней, т.е. несократимая дробь имеет вид:

Теперь, чтобы представить эту дробь в виде суммы максимально простых дробей, необходимо понять, при приведении каких дробей к общему знаменателю получилась дробь g(x). Это будет список:

Этап 4. Определение коэффициентов разложения А.

Теперь нам нужно подобрать коэффициенты А таким образом, чтобы при приведении списка дробей к общему знаменателю в числитетеле получился многочлен, как в дроби:

Для этого сначала нужно выписать дополнительные множители к каждой из дробей в виде многочлена D, а потом приравнять сумму:

К числителю раскладываемой дроби.

Этап 5. Интегрирование.

Теперь мы представили дробь g(x) в виде суммы элементарных дробей, а значит, интеграл этой функции также представляется в виде суммы почти табличных интегралов:

Подробнее об интегрировании дробей можно прочесть в полной версии этого параграфа.