Первообразные рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.
Интегрирование Иррациональных Функций.

Иррациональным мы будем называть интеграл, содержащий в качестве множителя рациональную функцию, а в качестве второго множителя один корень, рациональное выражение с корнем или рациональное выражение с двумя корнями.

Вообще все методы решения иррациональных интегралов, из которых нельзя устранить корень с помощью преобразований, сводятся к двум основным идеям :

1. Замена корня на новую переменную.
2. Извлечение корня.

Тип 1. Интегралы, содержащие один квадратный корень из x или корень x + a.
Эти интегралы чаще всего решаются заменой корня на новую переменную: x = t ² ; dx = 2 t dt.

Тип 2. Интегралы, содержащие корень из a ² – x ². Если в этом интеграле присутствует нечетная степень x вне корня, тогда к интегралу можно применить замену t = x ² ; dt = 2 x dx. Такая замена приводит интеграл к типу 1.

В других случаях тригонометрическая замена x = sin t ; dx = cos t dt позволяет применить под корнем основное тригонометрическое тождество и извлечь корень.

Тип 3. Интегралы, содержащие корень из a ² + x ². Если в интеграле присутствует нечетная степень x, поступаем, как в Типе 2. В противном случае может быть использована замена x = tg t ; dx = cos ^{– 2} t dt.

Тип 4. Интегралы, содержащие корень из x ² – a ². К этим интегралам применяются замены:

1. x = t² ; dx = 2 t dt .
2. x = sin ^{– 1} t ; dx = – sin ^{– 2} t cos t dt.
3. x = t ^{– 1} ; dx = – t ^–2 dt.