Первообразные рациональных, иррациональных и тригонометрических функций.
Интегрирование Тригонометрических Функций. Тригонометрические интегралы.

Тригонометрические интегралы – интегралы, в которых присутствуют тригонометрические функции, рациональные выражения от тригонометрических функций (и констант), а также иррациональные выражения от тригонометрических функций. Кроме тригонометрических функций в интегралах в качестве множителя может присутствовать x в некоторой целой положительной степени, но не рациональное выражение от x. Интегралы с рациональными выражениями от x, как правило, не берутся.

При интегрировании тригонометрических функций используются тригонометрические преобразования, направленные на то, чтобы привести интеграл к табличному виду (т sin x ; т cos x), или чтобы сделать замену.

Существует много типов тригонометрических интегралов, и в каждом из них используется свой тип преобразований.

Тип 1. Интеграл от положительной целой степени sin или cos.
К данному интегралу применяется формула понижения степени, либо, при нечетной степени, основное тригонометрическое тождество .

Тип 2. Интегралы, содержащие произведение sin и cos от разных аргументов. (как вариант -- в положительных целых степенях).
На первом этапе решения нужно избавится от степени, а затем перейти от произведения к сумме, использовав стандартные формулы перехода от произведения к сумме. Переход к сумме.

Тип 3. Интегралы, содержащие целую отрицательною степень синуса или косинуса. К синусу или косинусу в степени “– 1” применяется особый подход: разложение по формуле синуса двойного угла и домножение / деление на косинус половинного угла. После чего делается замена переменных.

Интегралы, содержащие нечетные степени синуса и косинуса, можно свести к интегралу от синуса или косинуса в степени “– 1” с помощью интегрирования по частям.

Напоминаем, что интегралы от синуса и косинуса в степени “– 2” являются табличными.

К интегралам, содержащим четные степени синуса или косинуса, применяется разложение 1 в числителе в соответствии с основным тождеством, после этого можно частично сократить.

Более сложные виды тригонометрических интегралов можно найти в полной версии параграфа...