Вычисление определенных интегралов.
Интегральные суммы, определенный интеграл, условия интегрируемости функций.

Множество T = { x_i } точек отрезка [ a, b ], таких, что a = x₀ < x₁ < x₂ < …… < x_T–1 < x_T= b называется разбиением отрезка [ a, b ].

Обозначим Dx_k длину отрезка [ x_k-1 , x_k ]. Тогда максимальное значение Dx_k называется мелкостью разбиения T.

Если множество Т* включает в себя множество Т, то говорят, что разбиение Т* следует за разбиением Т; или что разбиение Т* вписано в разбиение Т.

Для двух разбиений Т и Т* всегда найдется разбиение, вписанное и в Т, и в Т*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) задана всюду на отрезке [ a, b ] и задано разбиение Т, то всякая сумма:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [ a, b ], если для любой последовательности разбиений Т_n отрезка [ a, b ], мелкость которых стремится к нулю; и для любого набора точек x_k последовательность интегральных сумм s_Тn имеет один и тот же предел.

Предел последовательности интегральных сумм называют (определенным) интегралом Римана функции f на отрезке [ a, b ] и обозначается .

В интеграле число a называется нижним пределом интегрирования, а b – верхним.

Т. (необходимое условие интегрируемости.) Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем.

Из определения интеграла вытекает, что для любой последовательности разбиений с некоторого момента интегральные суммы будут отличаться от значения интеграла не более, чем скажем на 1. Т.е.

Предположим, что существует неограниченная функция, которая тем не менее является интегрируемой. Возьмем произвольное разбиение отрезка Т. Из неограниченности функции на отрезке [ a, b ] вытекает, что по крайней мере на одном из отрезков [ x_k-1 , x_k ] функция принимает сколь угодно большое значение. Так как длина отрезка [ x_k-1 , x_k] фиксирована, то всегда можно подобрать такую последовательность точек, что . Если зафиксировать точки x на прочих отрезках, тогда интегральная сумма, рассчитанная без учета отрезка [ x_k-1 , x_k ] является фиксированной величиной, а значит предел :

Следовательно, для любого разбиения множество возможных значений интегральных сумм не ограничено. А это противоречит следствию из определения интеграла, записанному выше.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция f(x) задана всюду на отрезке [ a, b ] и задано разбиение Т. Обозначим :

Верхняя и нижняя суммы Дарбу являются верхней и нижней гранью множества значений интегральных сумм Римана при фиксированном разбиении Т.

Если разбиение Т* следует за разбиением Т, тогда :

Т. (Необходимое и достаточное условие интегрируемости) Чтобы ограниченная функция была интегрируема на некотором отрезке, необходимо и достаточно, чтобы разность верхних и нижних сумм Дарбу стремилась к нулю при стремлении к нулю мелкости разбиения.