Вычисление определенных интегралов.
Несобственные интегралы. Расходящиеся интегралы.

Понятие несобственного интеграла возникает из задачи определения площади под графиком функции в случаях, когда нельзя применить интеграл Римана.

Итак, пусть функция f(x) определена на полуоткрытом интервале [ a,b ) причем b может быть равным +Ґ. И пусть для любого числа u О [ a,b ) функция f(x) интегрируема на отрезке [ a, u ].

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом функции f(x) называется функция , зависящая от переменной u. Эта функция обозначается .
Если существует конечный предел , то говорят, что интеграл является сходящимся. А если предел не существует или бесконечен, тогда говорят, что интеграл расходится.

К несобственным интегралам применимы практически все свойства определенных интегралов, в частности: 1) свойство линейности, 2) свойство аддитивности, 3) свойство сравнения, 4) формулы замены переменной и интегрирования по частям.

Признаки сходимости несобственных интегралов.

Т. (Признак сравнения) Если на интервале [ a,b ) выполняется неравенство : 0 Ј g(x) Ј f(x), тогда :
Если интеграл сходится, тогда сходится и интеграл .
Если расходится , то расходится и .

Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Несобственный интеграл сходится тогда и только тогда, когда для любого e > 0 найдется такое u, что для любых u₁ и u₂ , удовлетворяющих неравенству :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл .