Приложения определенного интеграла.
Вычисление площадей.

Первое, что нужно сделать при вычислении площади плоской фигуры – нарисовать данную фигуру и понять из каких частей эта фигура состоит, и как удобнее вычислить ее площадь с помощью применения определенного интеграла.

Начинаем с рисунка. Построение рисунка нам нужно для того, чтобы определить интервалы интегрирования. Т.е. если мы решаем интегрировать функции, ограничивающие фигуру, по x, тогда мы должны определить все значения, при которых происходит пересечение графиков различных функций.

Нарисованная нами картинка помогает определить, какая функция на рассматриваемом интервале ограничит фигуру снизу, и какая – сверху. На этом интервале, обозначим его [ a, b ], площадь фигуры задается интегралом:

Обратите внимание, разность функций должна быть положительна, поскольку, если разность отрицательна, верхняя граница фигуры оказывается ниже нижней.

Площадь фигуры можно определить не только интегрированием по x, но также интегрированием по y. При этом все уравнения функций, ограничивающих фигуру, нужно записать в виде x = f ^{– 1}(x) и найти не x координаты точек пересечения графиков функций, а их координаты по оси y.