Приложения определенного интеграла.
Вычисление объемов тел вращения. Вычисление объема с использованием площади сечения. Вычисление объемов с помощью параметрических интегралов.

В общем случае, простого определенного интеграла не достаточно, чтобы вычислить объем тела, и для этого используются кратные интегралы. Лишь в некоторых частных случаях для вычисления объема используется простой интеграл.

Самый простой случай – вычисление объема при известной площади сечения. Пусть дано какое-то объемное тело. Если площадь сечения задается функцией S(x), тогда объем этого тела, заключенный между плоскостями x = a и x = b вычисляется с помощью интеграла:

Частным случаем вычисления объема при известной площади сечения является вычисление объема тела вращения. Если некоторая кривая f(x) вращается вокруг оси x, тогда площадь сечения плоскостью x = u данного тела вращения равна площади круга с радиусом f(u), т.е. равна p f ²(u). В результате объем тела вращения, получаемого при вращении f(x) вокруг оси x, и ограниченного плоскостями x = a и x = b равен :