Приложения определенного интеграла.
Вычисление длины дуги кривой в декартовых и полярных координатах, а также длины дуги кривой, заданной параметрически.

Пусть в декартовых координатах кривая задана уравнением y = f(x), причем дифференцируемая функция f определена на отрезке [ a, b ]. Если мы возьмем достаточно мелкое разбиение отрезка [ a, b ], задаваемое множеством точек разбиения { x_k }, то мы получим аппроксимацию этой кривой ломаной линией, состоящей из отрезков ( (x_k , y_k); (x_k+1 , y_k+1) ). Длина каждого из этих отрезков равна (по т. Пифагора) :

И поскольку разбиение достаточно мелкое, мы можем выразить разность y координат концов отрезка, использовав производную функции f:

А длина всей ломаной равна сумме длин отрезков, которая при стремлении мелкости разбиения к нулю превращается в интеграл. И поскольку при уменьшении мелкости разбиения ломанная становится неотличима от кривой, которую она аппроксимирует, то длина кривой равна интегралу:

Если кривая задана параметрически, т.е. двумя уравнениями y = y(t) и x = x(t), тогда приращения переменных y и x задаются через производные функций y(t) и x(t). И, соответственно, длины отрезков ломанной также выражаются через эти производные:

Легко видеть, что если все приращения переменной t стремятся к нулю, то длина кривой будет (при условии, что t меняется в пределах от a до b ) задаваться интегралом :